ЛЮЦМХРМШИ ПЕЬЕРЙЮ
Задачи на плоских решетках
Задачи на плоских решеткахЭфрос А.Л.
Мы сажаем фруктовый сад (задача связей)
Проектируется фруктовый сад огромного размера. Деревья в нем должны расти не как-нибудь, а регулярно. Они будут посажены в узлах какой-либо периодической решетки, нанесенной на поверхности земли.
Рис. 16. Плоские решетки: а) квадратная; б) треугольная; в) шестиугольная ().Таких решеток можно придумать много, но мы ограничимся тремя: квадратной, треугольной и шестиугольной (последняя называется еще ). Все они изображены на рис. 16.
Естественно, что хотелось бы посадить деревья поближе друг к другу – земля дорога,– но по ряду причин сажать деревья близко друг к другу нельзя. Одна из причин состоит в том, что проектировщики опасаются заразных заболеваний деревьев. Допустим, что специалисты по болезням фруктовых деревьев сообщили следующие сведения 1:
1. Заболевшее дерево может заразить только своих ближайших соседей.
2. Некоторые деревья, являющиеся ближайшими соседями, обязательно заражают друг друга, если одно из них заболело. В других случаях заражения не происходит. (Это может зависеть, например, от расстояния между ветвями данной пары деревьев.) Пару деревьев, внутри которой заражение обязательно происходит, назовем связанной парой.
3. Специалисты также предоставили в наше распоряжение вид функции x(a) – вероятность того, что выбранная наугад пара ближайших соседей является связанной. Эта вероятность зависит от расстояния a между ближайшими соседями в данной решетке. Естественно, что функция x(a) возрастает с уменьшением аргумента a: чем ближе друг к другу растут деревья, тем легче заражают они друг друга.
Мы должны ответить на следующий вопрос: какое количество деревьев может заразить одно заболевшее дерево? Ответ на этот вопрос может быть только вероятностным. Если данное дерево образует с кем-либо из своих соседей связанную пару, то происходит заражение. Заболевшие деревья в свою очередь заражают своих соседей и т.д. Поэтому можно спросить лишь: какова вероятность того, что заболевшее дерево заразит определенное количество деревьев сада?
Для дальнейшего удобно перейти к кластерной терминологии, введенной в предыдущей главе. Будем считать, что между двумя соседними узлами, в которых находятся деревья, образующие связанную пару, имеется связь, которую представим в виде проволоки, соединяющей два узла. Если деревья, являющиеся ближайшими соседями, не образуют связанную пару, то связь между ними (проволока) разорвана (рис. 17).
Назовем два узла связанными, если между ними имеется целая связь или если они соединены непрерывной пеночкой узлов, являющихся ближайшими соседями и имеющими между собой целые связи (например, связаны друг с другом узлы A и B, а также C и D на рис. 17).
Совокупность связанных узлов назовем кластером. В применении к данной задаче важнейшее свойство кластера состоит в том, что заболевшее дерево заражает все деревья своего кластера и ни одного дерева вне его.
Рис. 17. Фрагмент квадратной решетки с разорванными связями. изображены три кластера из двух узлов (1, 2, 3), один кластер из четырех узлов (4), один кластер из шести узлов (5) и один кластер из десяти узлов (6).По определению, доля неразорванных связей равна x. Дальнейшие рассуждения такие же, как в гл. 3. При малых значениях x неразорванные связи располагаются по одиночке, почти все кластеры состоят из двух узлов, кластеры из трех узлов редки, из четырех – еще более редки. При больших значениях x существует бесконечный кластер из связанных узлов. При x–1 ему принадлежат все узлы системы. С уменьшением x часть узлов из него выпадает и, наконец, при некотором критическом значении xc бесконечный кластер прекращает свое существование.
Бесконечный кластер – это и есть то бедствие, от которого мы призваны оградить сад. Пусть Pсв(x) – вероятность того, что выбранный наугад узел принадлежит бесконечному кластеру. Если x < xc, так что Pсв(x) = 0, то одно заболевшее дерево может заразить только несколько других деревьев. Если же x > xc, то одно заболевшее дерево с вероятностью Pсв(x) заражает в бесконечном саду бесконечное количество деревьев. Таким образом, в случае x < xc очаг болезни, случайно занесенный в сад, остается локализованным вблизи того места, куда он попал, а в случае x > xc болезнь может распространиться по всему саду.
Чтобы дать практические рекомендациинайти нужно найти значение xc и приравнять к нему функцию x(a), представленную специалистами. Отсюда определяется расстояние a, являющееся решением уравнения x(ac) = xc. Очаг болезни, возникший в саду, остается локализованным, если расстояние между деревьями больше ac, и распространяется по всему саду в противоположном случае.
Сформулированная выше задача о нахождении xc называется в теории протекания задачей связей в знак того, что случайным элементом являются здесь связи, которые с заданной вероятностью могут быть целыми или разорванными. На первый взгляд задача связей похожа на задачу узлов, обсуждавшуюся в предыдущих главах. Однако для заданной решетки эти задачи друг к другу не сводятся и имеют разные ответы.
В этой и последующих главах придется несколько усложнить обозначения. Обозначим порог протекания задачи узлов через xy, а порог протекания задачи связей через xсв. Эти пороги зависят от вида решетки. Примем следующие сокращенные обозначения для названий плоских решеток: К – квадратная, Т – треугольная, Ш – шестиугольная. Тогда xy(Ш) будет обозначать порог протекания задачи узлов на шестиугольной решетке, xсв(Т) – порог задачи связей на треугольной решетке и т.д. Функцию Pсв(x), введенную в этом разделе для задачи связей, следует отличать от функции P(x), определенной ранее для задачи узлов.
Задачу связей можно сформулировать не только на кластерном языке, но и как задачу о протекании с одной стороны квадрата на другую. Вспомним опыт с экранной сеткой, которым начиналась книга. Возможно, у некоторых читателей возник вопрос, почему нужно было блокировать узлы, т.е. разрезать сразу четыре проволоки, входящие в каждый узел, вместо того, чтобы разрешить по одиночке случайно выбранные проволоки (связи). Легко понять, что, разрезая связи, исследователи определили бы порог xсв(К) вместо порога xy(К), который был найден в их эксперименте. Теперь можно объяснить, почему была выбрана задача узлов: как будет показано ниже задача связей на квадратной решетке имеет точное аналитическое решение, из которого следует, что xсв(К) = 0,5. Поэтому ради xсв(К) не было смысла ставить столь трудоемкий эксперимент, а xy(К) известен лишь из приближенных вычислений.
Неравенство, связывающее xсв и xy
При обсуждении задачи узлов вместо функции P(x) часто вводят функцию Py(x), связанную с P(x) соотношением
P(x) = xPy(x)(1)По определению P(x) есть вероятность того, что выбранный наугад узел принадлежит бесконечному кластеру. Ее можно представить как произведение вероятностей двух независимых событий. Первое из них на языке задачи о ферромагнетике состоит в том, что выбранный наугад узел оказался магнитным. Вероятность этого события равна x. Второе событие состоит в том, что этот узел связан с бесконечным кластером из магнитных узлов. Таким образом, функция Py(x), определенная формулой (1), есть вероятность того, что выбранный наугад магнитный узел связан с бесконечным кластером. Иными словами, Py(x) представляет собой долю магнитных узлов, принадлежащих бесконечному кластеру, т.е. отношение числа узлов, принадлежащих бесконечному кластеру, к числу магнитных узлов. Напомним, что P(x) представляет собой отношение числа узлов, принадлежащих бесконечному кластеру, к полному числу узлов. Естественно, что функция Py(x) монотонно возрастает о ростом x, равна единице при x = 1 и равна нулю при .
Английский математик Хаммерсли, тот, кто первым заговорил о теории протекания, доказал теорему, согласно которой
(2)Обе функции, Py и Pсв монотонно возрастают с увеличением аргумента x. Поэтому (рис. 18) из формулы (2) следует что
(3)т.е. для любой решетки (не обязательно плоской) пороговое значение для задачи связей не больше, чем для задачи узлов. Этот результат можно переписать в виде другого неравенства:
(4)и трактовать следующим образом. Допустим, что нужно заблокировать протекание электрического тока по сетке из проводов или протекание жидкости по сетке труб и сделать это можно, либо блокируя узлы, либо разрезая связи (проволоки или трубы), соединяющие эти узлы. Неравенство (4) означает, что вырезая узлы, заблокировать систему легче, чем разрезая связи. Доля блокированных узлов, при которой прекращается ток, меньше, чем
Рис. 18. доля разорванных связей. Результат этот представляется совершенно естественным, так как при блокировании одного узла разрывается не одна связь, а все связи, входящие в этот узел.
Покрывающие и включающие решетки
Задача узлов является более общей, чем задача связей. Задача связей сводится к задаче узлов, но на другой решетке, которая называется покрывающей. Покрывающая решетка строится из исходной по следующим правилам:
1. Посередине каждой связи исходной решетки нужно поставить узел покрывающей решетки,
2. Два узла покрывающей решетки нужно связать друг с другом в том и только в том случае, если связи исходной решетки, на которых поставлены эта два узла, сходятся в узле исходной решетки.
Результатом этого построения является новая периодическая решетка, которая называется покрывающей по отношению к исходной.
Рис. 19. Покрывающая решетка для квадратной решетки.На рис. (19) изображена покрывающая решетка для случая, когда исходной является квадратная. Тонкими линиями показана исходная квадратная решетка. На том месте, где исходная решетка имеет узлы, нарисованы дуги. Покрывающая решетка состоит из тонких и толстых линий, но в пересечениях тонких линий нет узлов покрывающей решетки. Они находятся только в пересечениях толстых линий и отмечены на рисунке точками.
Каждая связь исходной решетки стыкуется с тремя другими связями на одном своем конце и еще с тремя связями на другом конце. Поэтому каждый узел покрывающей решетки должен быть связан с шестью другими узлами. Это показано на рис. 19. Каждый узел связан с четырьмя другими узлами толстыми линиями и еще с двумя узлами – тонкими линиями.
Допустим теперь, что на исходной решетке сформулирована задача связей, т. е. определенная доля случайно выбранных связей разорвана.
Предположим, что если связь исходной решетки разорвана, то узел покрывающей решетки, который стоит на данной связи, блокирован. Теперь возникла задача узлов на покрывающей решетке. Узлы на ней оказались блокированными случайно, а доля блокированных узлов равна доле разорванных связей на исходной решетке.
Заметим, что в задаче связей существование бесконечного кластера из связанных друг с другом узлов всегда означает существование бесконечного кластера из стыкующихся друг с другом неразорванных связей. И наоборот, отсутствие бесконечного кластера из узлов означает отсутствие кластера из связей.
По построению покрывающей решетки видно, что существование бесконечного кластера из неразорванных связей на исходной решетке означает существование бесконечного кластера из неблокированных узлов на покрывающей решетке и, наоборот, отсутствие бесконечного кластера связей на исходной решетке означает отсутствие бесконечного кластера узлов на покрывающей решетке.
Рис. 20. Треугольная решетка включает квадратную.Отсюда следует, что порог протекания задачи связей на исходной решетке равен порогу протекания задачи узлов на покрывающей решетке. Если обозначить исходную решетку буквой L, а покрывающую – Lп, то сказанное можно записать в виде формулы
xсв(L) = xy(Lп).(5)Ряд неравенств между порогами протекания для различных решеток можно получить, используя понятие включающей решетки. Допустим, что решетка L получается из решетки Lвкл с помощью вычеркивания определенного количества связей. Тогда говорят, что решетка Lвкл включает решетку L.
Обратимся, например, к треугольной решетке. Если уничтожить в ней все связи, отмеченные на рис. 20 двумя черточками, то она перейдет в решетку, показанную в правой части рисунка. Легко увидеть, что с точки зрения задачи узлов или связей эта новая решетка эквивалентна квадратной. Действительно, то обстоятельство, что углы между связями на новой решетке не равны 90°, не играет никакой роли, если обсуждается вопрос о связи различных узлов друг с другом (новую решетку можно просто мысленно ). Порог протекания задачи связей (и задачи узлов!) на этой решетке точно равен порогу протекания на квадратной решетке. Поэтому говорят, что треугольная решетка включает в себя квадратную.
Допустим теперь, что определенная доля связей включающей решетки разорвана. Связи включающей решетки можно разделить на те связи, которые являются общими для нее и для включенной решетки, и те, которые являются специфическими для включающей решетки (последние помечены двумя черточками на левой части рис. 20). Поскольку связи разрываются совершенно случайно, то доля разорванных связей и в той, и в другой категории связей будет одинакова и равна общей по всей решетке доле разорванных связей. Поэтому, чтобы получить включенную решетку с той же долей разорванных связей, необходимо дополнительно разорвать на включающей решетке те связи, которые остались у этой решетки целыми, по являются для нее специфическими, т.е. вовсе отсутствуют на включенной решетке.
Отсюда видно, что число целых связей, выходящих из каждого узла включающей решетки, не меньше (больше или равно) числу целый связей, выходящих из того же узла включенной решетки. Поэтому вероятность того, что выбранный наугад узел принадлежит бесконечному кластеру для включающей решетки, не меньше, чем для включенной. Итак, получено неравенство
(6)В левой части неравенства (6) стоит функция Pсв(x), вычисленная для включенной решетки, а справа – для включающей. Подобно тому, как из неравенства (2) следует неравенство (3), из неравенства (6) следует, что
(7)т.е, xсв у включающей решетки ниже, чем у включенной.
Как уже говорилось, треугольная решетка включает квадратную. Поэтому
(8)Допустим теперь, что из квадратной решетки вычеркнуты некоторые связи, как показано на рис. 21. При этом получится решетка, показанная в правой части рисунка. Посмотрите на нее внимательно. Она эквивалентна шестиугольной. Нужно немного потянуть ее вверх,
Рис. 21. Квадратная решетка включает шестиугольную.немного деформировать связи, и ее ячейки (рис. 22) превратятся в , показанные на рис. 16. Таким образом, квадратная решетка включает шестиугольную и, следовательно,
(9)Из неравенств (8) и (9) следует, что
(10)Обратимся теперь к задаче узлов. Допустим, что на включающей и включенной решетках блокированы одни
Рис. 22. Преобразование одной ячейки, изображенной в правой части рис. 21, в .и те же узлы (соответственно доля блокированных узлов здесь и там одинакова). Пусть на включенной решетке существует бесконечный кластер из целых узлов. Это значит, что он существует и на включающей решетке, поскольку дополнительные связи могут только способствовать его появлению. Если же известно, что бесконечный кластер существует при заданной доле узлов на включающей решетке, то отсюда нельзя сделать никаких выводов по поводу существования бесконечного кластера на включенной решетке. Уничтожение ряда связей между узлами при переходе от включающей решетки к включенной может оказаться для бесконечного кластера роковым. Таким образом, порог протекания задачи узлов на включенной решетке не может быть меньше, чем на включающей:
(11)Отсюда следует цепочка неравенств для квадратной, треугольной и шестиугольной решеток:
(12)точно такая же, как для задачи связей.
Обратимся еще раз к рис. 19, где показана покрывающая решетка для квадратной решетки. Допустим, что связи, изображенные тонкими линиями, уничтожены. Легко понять, что в результате получилась квадратная решетка, только повернутая на 45°, что, разумеется, совершенно не существенно для задач теории протекания.
Итак, покрывающая решетка для квадратной решетки включает в себя квадратную решетку. Согласно формуле (5)
xy(Lп) = xсв(К),(13)где под Lп понимается покрывающая решетка, изображенная на рис. 19. Но из неравенства (11) и из того, что данная покрывающая решетка включает квадратную, следует
(14)Из неравенств (13) и (14) вытекает, что
(15)Таким образом, мы получили, что для квадратной решетки порог задачи связей ниже, чем порог задачи узлов. Неравенство (15) является частным случаем общей теоремы Хаммерсли, которая выражается формулой (3) и была приведена нами без доказательства. При выводе (15) эта теорема не использовалась, и потому можно сказать, что приведенные выше соображения доказывают ее для случая квадратной решетки.
Белое протекание в черное протекание
Взглянем теперь на задачу связей с несколько иной точки зрения. До этого момента говорилось, что существуют целые и разорванные связи, случайно распределенные по решетке, а кластером называлась совокупность узлов, соединенных целыми связями.
Задачу можно сформулировать более симметрично. Переименуем разорванные связи в , а целые связи – в . Совокупность узлов, соединенных белыми связями, будем называть белым кластером, а совокупность узлов, соединенных черными связями,– черным кластером (по старой терминологии кластером назывался кластер). Пусть доля белых связей по-прежнему обозначается через x. Долю черных связей обозначим через q. Так как каждая связь либо черная, либо белая, то q = 1–x.
В такой формулировке можно говорить и о протекании по белым, и о протекании по черным связям.
При малой концентрации x белых связей не существует бесконечного белого кластера, но существует бесконечный черный кластер, т.е. бесконечный кластер из узлов, связанных черными связями. Наоборот, при малой концентрации q черных связей (т.е. при значениях x, близких к единице) существует бесконечный белый кластер и нет бесконечного черного кластера.
При изменении x от нуля до единицы происходят два события: исчезает черный бесконечный кластер и появляется белый, или, что то же самое, исчезает протекание по черным связям и возникает протекание по белым связям. Но в какой последовательности происходят эти события?
Белые и черные связи ничем не отличаются друг от друга, кроме названия. Поэтому очевидно, что критическая концентрация qсв, при которой возникает протекание по черным связям, равна концентрации xсв, при которой возникает протекание по белым связям.
Таким образом, при увеличении x протекание по белым связям возникает, когда x = xсв, а протекание по черным связям исчезает, когда x = 1–qсв = 1–xсв. Последовательность, в которой происходят эти события, зависит от знака разности .
Если для осуществления протекания по белым связям необходимо, чтобы белых связей было больше половины (это значит, что в точке протекания белых связей должно быть больше, чем черных), то при увеличении x сначала исчезает протекание но черным связям, а потом появляется протекание по белым (рис. 23, а). В области I на
Рис. 23. рис. 23, а существует только протекание по черным связям, в области [ III – только по белым связям, а в области II отсутствует протекание и по белым, и по черным связям.
Если xсв < 0,5, то сначала появляется протекание по белым связям и лишь потом исчезает протекание по черным. В области I на рис. 23, б существует протекание по черным связям, в области III – по белым связям, а в области II – и по черным, и по белым.
Такая же симметричная формулировка существует и для задачи узлов. Напомним, что в этом случае все связи – целые, зато узлы бывают двух сортов. В задаче о сетке они назывались целыми и блокированными. В задаче о ферромагнетике – магнитными и немагнитными. Теперь, так же как и в задаче связей, вводится универсальное обозначение: целые, или магнитные, узлы называются белыми, а блокированные, или немагнитные,– черными. Белые узлы называются связанными, если они являются соседями друг друга или соединены цепочкой белых узлов, являющихся ближайшими соседями. Точно так же могут быть связанными друг с другом и черные узлы.
Можно говорить о протекании по белым и черным узлам. Если xy > 0,5, то существует область значений x, в которой нет протекания ни по белым, ни по черным узлам (1–xy < x < xy). Если xy < 0,5, то в области xy < x < 1–xy существует протекание и по белым, и по черным узлам.
Симметричный подход оказывается конструктивным, потому что иногда, рассматривая решетку, удается выяснить, что на ней не может быть ни белого, ни черного протеканий или что на ней обязательно должно быть одно из этих протеканий. Исходя из этого, легко сделать некоторые заключения о пороге протекания.
Рассмотрим, например, задачу узлов на треугольной решетке. Допустим, что по белым узлам есть протекание. Легко увидеть, что при этом не может быть протекания по черным узлам. Допустим, что изучается протекание тока слева направо на сетке очень большого размера, как это делалось в эксперименте, с описания которого начиналась эта книга. Только теперь сетка сделана не в виде квадратной, а в виде треугольной решетки. Легко понять, что треугольная решетка устроена так, что наличие пути протекания по белым узлам слева направо исключает возможность протекания по черным узлам сверху вниз. Действительно, черные узлы не могут через ломаную линию, проходящую через всю сетку слева направо и соединяющую белые узлы.
Как объяснялось в гл. 3, существование бесконечного кластера обеспечивает протекание в любом направлении, если размер системы достаточно велик. Поэтому следует сделать вывод, что в треугольной решетке при одном и том же значении x не может существовать бесконечного кластера и из белых, и из черных узлов, т.е. не может быть протекания и по белым, и но черным узлам. Отсюда следует, что
(16)Такой же вывод можно сделать и для квадратной решетки: .
Для треугольной решетки доказана теорема, согласно которой xy(Т) = 0,5. Мы не можем привести здесь ее доказательство, но суть дела сравнительно легко понять, используя представление о белом и черном протекании. Изобразив различные конфигурации черных и белых узлов, можно увидеть, что отсутствие протекания по белым узлам слева направо обязательно влечет за собой протекание по черным узлам сверху вниз (квадратная решетка не обладает таким свойством!).
Итак, на треугольной решетке не может быть протекания и по белым, и по черным узлам сразу и не может не быть протекания хотя бы по одному сорту узлов. Отсюда следует, что область II на рис. 23 (на этом рисунке следует теперь заменить xсв на xy), вырождается в точку, т.е. xy(Т) = 0,5.
В случае задачи связей такого рода исследования удобно делать с помощью понятия дуальной решетки.
Дуальные решетки
Дуальными могут быть только плоские решетки. Под плоскими решетками понимают такие решетки, которые могут быть размещены в плоскости, причем так,
что связи решетки пересекаются только в тех точках, где находятся узлы решетки. Например, все решетки, изображенные на рис. 16, являются плоскими, а покрывающая решетка на рис. 19 – не плоская, потому что в местах, показанных дугами, ее связи пересекаются, а узлов в точках пересечения нет. (Дуги представляют собой как бы мосты, обеспечивающие развязку путей, идущих слева направо и сверху вниз.)
Рис. 24. Построение, показывающее, что квадратная решетка дуальна сама к себе. Сплошными линиями и черными кружками показаны связи и узлы исходной решетки, штриховыми линиями и светлыми кружками – связи и узлы дуальной решетки.Каждая плоская решетка разбивает плоскость на ячейки. Решетка Lд называется дуальной к решетке L, если каждая связь Lд пересекает одну и только одну связь решетки L и, наоборот, каждая связь L пересекает одну и только одну связь Lд
Кроме того, в каждой ячейке решетки L должен находиться только один узел решетки Lд (и наоборот).
Как видно из определения, свойство дуальности является взаимным: если Lд дуальна к L, то L дуальна к Lд.
На рис. 24, 25 показано, что квадратная решетка является дуальной квадратной решетке, а треугольная и шестиугольная решетки дуальны друг другу.
Вернемся теперь к задаче связей. Примем, что если некоторая связь на исходной решетке белая (неразорванная), то пересекающая ее связь на дуальной решетке черная (разорванная). Поэтому если концентрация белых
Рис. 25. Построение, показывающее, что треугольная решетка дуальна к шестиугольной (и наоборот). Обозначения те же, что и на рис. 24.связей на исходной решетке равна x, то концентрация белых связей на дуальной решетке q = 1–x.
Ниже будет удобно говорить о пороге протекания как о таком значении концентрации белых связей, при котором впервые возникает (или исчезает) проводимость слева направо в очень большой сетке с припаянными к ней электродами (см. рис. 1). Это та же постановка задачи, которая обсуждалась в самом начале книги, только теперь нарушаются не узлы сетки, а связи.
Допустим, что на исходной решетке существует путь протекания по белым связям слева направо. Как легко понять, это означает отсутствие пути протекания по белым связям на дуальной решетке сверху вниз. Действительно, белая связь исходной решетки по определению пересекается только черной связью дуальной решетки. Поэтому, если на исходной решетке существует нигде не обрывающаяся ломаная линия из белых связей, пересекающая всю сетку слева направо, то это значит, что белые связи дуальной решетки ни в каком месте не могут через нее, чтобы пройти сверху вниз.
Если решетка достаточно велика, то наличие пути слева направо но исходной решетке означает, что доля белых связей больше пороговой:
x > xсв(L).(17)Отсутствие же пути сверху вниз по белым связям дуальной решетки означает, что доля белых связей дуальной решетки q = 1–x меньше пороговой доли для дуальной решетки, т.е. 1–x < xсв(Lд), или
x > 1–xсв(Lд).(18)Согласно сказанному выше все значения x, удовлетворяющие неравенству (17), удовлетворяют также и неравенству (18). Отсюда следует, что , или
(19)Для квадратной решетки L = Lд, и из неравенства (19) следует, что
(20)а если использовать еще неравенство (15), то получим
(21)т.е. тот же вывод, что и в предыдущем разделе. Вспомните, что эксперимент с квадратной сеткой, описанный в гл. 1, дал значение xy(К) = 0,59, что не противоречит неравенству (21).
Для двух решеток – квадратной и треугольной – строго доказано, что знак неравенства в формуле (19) следует заменить знаком равенства, т.е.
xсв(L)+xсв(Lд) = 1.(22)Отсюда сразу вытекают два новых результата
xсв(К) = 0,5(23)и
xсв(Т+xсв(Ш) = 1.(24)Строгое доказательство формулы (22) здесь не приводится: оно требует введения ряда новых понятий, которые не понадобятся в дальнейшем. Однако этой формуле можно дать достаточно ясную интерпретацию. Рисуя различные конфигурации белых и черных связей, можно увидеть, что для квадратных и треугольных решеток отсутствие протекания по белым связям слева направо на исходной решетке всегда означает наличие протекания сверху вниз по белым связям дуальной решетки. Примем это утверждение на веру. Допустим, что доля белых связей такова, что на исходной решетке нет протекания слева направо. Для сетки достаточно большого размера это означает, что
x < xсв(L).(25)При этом по дуальной решетке есть протекание сверху вниз. Доля белых связей на ней равна 1–x. Следовательно, 1–x > xсв(Lд), или
x < 1–xсв(Lд).(26)Согласно сказанному выше все значения x, удовлетворяющие неравенству (25), должны удовлетворять и неравенству (26). Это возможно, если , или
(27)Из неравенств (19) и (27) следует равенство (22).
Формула (24) не позволяет найти по отдельности xсв(Т) и xсв (Ш). Однако, воспользовавшись известным в теории электрических цепей преобразованием , можно получить еще одно соотношение, связывающее пороги протекания задачи связей на треугольной и шестиугольной решетках. В результате становится известным каждый из порогов
(28)
Результаты для плоских решеток
Нам осталось только привести сводную таблицу порогов протекания для плоских решеток (табл. 1).
Лишь два числа в этой таблице, а именно, xy(К) и xy(Ш), получены приближенными методами. Все остальные
Тип Решетки xсв xy Треугольная 0,3473 0,5 Квадратная 0,5 0,59 Шестиугольная 0,6527 0,70
представляют собой результаты точных решений. Как будет показано в следующей главе, с трехмерными решетками дело обстоит существенно хуже. Для них не получено ни одного точного решения. Это не должно караться странным. Для аналитического решения задач теории протекания не существует никакого метода. Каждое точное решение, о котором шла речь, производит впечатление чуда. Поэтому на наш взгляд следует скорее удивляться тому, как много таких решений уже известно.
Ориентированное протекание
Допустим теперь, что в узлах плоской решетки мы посадили не сад, а лес, и наш лес загорелся. Некоторые деревья, являющиеся ближайшими соседями, сильно перепутаны ветвями и передают огонь друг на друга. В соответствии с общей терминологией будем говорить, что узлы, в которых находятся такие деревья, соединены белыми связями. Другие деревья, которые тоже являются ближайшими соседями, не зажигают друг друга. Будем говорить, что соответствующие узлы соединены черными связями. Белые и черные связи беспорядочно разбросаны но решетке, причем доля белых связей равна x.
Задача состоит в том, чтобы найти критическое значение xсв такое, что при x < xсв возникший очаг пожара остается локализованным, а при x > xсв огонь распространяется по всему лесу.
Легко понять, что это просто еще один пример задачи связей. Значение xсв можно найти, заглянув в табл. 1.
Допустим теперь, что во время пожара дует сильный ветер, так что огонь распространяется только по ветру. Это приводит к новой интересной задаче, которая называется задачей об ориентированном (или направленном) протекании.
Рис. 26. Ориентированные белые связи показаны толстыми линиями со стрелкой, черные связи показаны тонкими линиями. Огонь может распространяться слева направо на пути 1 и не может распространяться по пути 2. Двумя черточками показаны два участка пути 2, на которых огню пришлось бы двигаться против ветра.Будем считать, что лес посажен в узлах квадратной решетки, а ветер дует в направлении диагонали квадратов. На рис. 26 направление ветра показано стрелкой, а решетка повернута на 45 по отношению к обычному способу ее изображения. Условия задачи формулируются теперь следующим образом. Каждая белая связь превращается в вектор, стрелка которого поставлена так, что проекция вектора на направление ветра положительна. Черные связи по-прежнему не переносят огонь ни в каком направлении, а белые переносят его только в направлении стрелки. Требуется определить критическую долю белых связей, начиная с которой одно загоревшееся дерево в бесконечно большом лесу может вызвать пожар, уходящий на бесконечно большое расстояние.
На рис. 26 толстыми линиями со стрелками изображены белые связи и показаны два пути протекания: 1 и 2. Путь 1 может изображать движение огня, а путь 2 не соответствует условиям ориентированного протекания: в двух местах, показанных черточками, движение происходит против направления белой связи, т.е. против ветра.
Итак, если при неориентированном протекании белые связи использовались в обоих направлениях, то при ориентированном протекании они могут использоваться только в одном направлении. Отсюда следует, что критическая доля белых связей при ориентированном протекании x0св не может быть меньше, чем при обычном протекании: т.е. x0св > xсв.
В настоящее время для ряда задач с ориентированным протеканием получено приближенное решение. В частности, для описанной выше задачи связей на квадратной решетке x0св = 0,63 или 0,64 (результаты, полученные разными методами, несколько отличаются друг от друга). Напомним, что для неориентированной задачи связей на квадратной решетке xсв = 0,5.
Многие физические задачи сводятся к ориентированному протеканию. В качестве примера можно назвать движение электрона в сильном электрическом поле в случайно-неоднородной среде. В такой среде, где свойства меняются случайным образом от точки к точке, на пути движения электрона возникают препятствия, которые он должен огибать. В то же время однородное электрическое поле играет роль ветра, который гонит электрон в одну сторону.
Ориентированное протекание возникает и в задаче об электропроводности проволочной сетки (гл. 1), если принять, что в каждую связь между узлами сетки включен диод (выпрямитель), пропускающий ток только в одном направлении. Тогда доля разорванных связей, при которой прекращается ток через сетку, соответствует порогу ориентированного протекания. Рассматривалась и смешанная задача, когда диоды включены не во все связи сетки.
1Автор не несет ответственности за эти сведения, и потому призывает не относиться слишком серьезно к практическим выводам, вытекающим из решения поставленной здесь задачи;. Она дана лишь для того, чтобы показать возможности теории протекания.
URL: http://link.edu.ioffe.ru/efros/5
© Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе(Search|About|koi|win|dos|mac|iso) Images: 34; Size: 53777; TeX size: 36984; Update: 12 Jan 2005; Converted: 26 May 2005 00:29:25; elapsed time: 0.356 sec.
Warning: fopen(latexlog/latex2toc.log.Apr2008) [function.fopen]: failed to create stream: Permission denied in /usr/web/NOK/register/index.php on line 43
Warning: fclose(): supplied argument is not a valid stream resource in /usr/web/NOK/register/index.php on line 48
ПЮГДЕКШ
ЩКЕЙРПНХМЯРПСЛЕМР ЛЕРЮАН
БЯЙПШРХЕ ЮБРН
ЩТХПМШИ ЮМРЕММЮ funke
НУНРЮ ОХПЮМЭЪ
КЕВЕМХЕ ЫХРНБХДМШИ ФЕКЕГЮ
ДНЯРЮБЙЮ УХЛ. ПЕЮЦЕМР
НАЕД
ХГЛЕПХРЕКЭ ЯНОПНРХБКЕМХЕ
ЛМНЦНРЮПХТМШЕ ЩКЕЙРПНЯВЕРВХЙ
ЯДЮРЭ ЮМЮКХГ ЙПНБЭ
ЯДЮРЭ ЮМЮКХГ ЙПНБЭ
ЯСУНИ ЛНПНФЕМШИ
ПЮЙ ЫХРНБХДМШИ ФЕКЕГЮ
ЛЮЦМХРМШИ ПЕЬЕРЙЮ